Logarítmica
\(\int \tfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\)
\(\tfrac{d}{dx}\ln|a|=\tfrac{1}{a}\)
\(\tfrac{d}{dx}(ax)=a\)
\(\tfrac{d}{dx}(a)=0\)
Derivadas Trigonométricas
\(\tfrac{d}{dx}\sin x=\cos x\)
\(\tfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x\)
\(\tfrac{d}{dx}\tan x=\sec^2\!x\)
\(\tfrac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x\)
Derivada Potencia & Exponencial
Potencia
\(\tfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\)
Exp.
\(\tfrac{d}{dx}e^x=e^x\)
Exp. ax
\(\tfrac{d}{dx}e^{ax}=ae^{ax}\)
Secante
\(\sec x=\tfrac{1}{\cos x}\)
∫cos(ax)
\(\int\!\cos(ax)dx=\tfrac{\sin(ax)}{a}+C\)
Base a
\(\int a^x dx=\tfrac{a^x}{\ln a}+C\)
Reglas de Derivación
Producto
\((uv)'=u'v+uv'\)
Cociente
\(\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\tfrac{u'v-uv'}{v^2}\)
Cadena
\(\tfrac{d}{dx}F(g)=F'(g)\cdot g'\)
Integrales Trigonométricas
\(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\)
\(\int\cos x\,dx=\sin x+C\)
\(\int\sec^2\!x\,dx=\tan x+C\)
\(\int\tfrac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C\)
Integrales Potencia & Exp.
Potencia
\(\int x^n dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
Exp.
\(\int e^x dx=e^x+C\)
Exp. ax
\(\int e^{ax}dx=\tfrac{e^{ax}}{a}+C\)
Métodos de Integración
Por Partes
\(\int u\,dv=uv-\int v\,du\)
Sep. Var.
\(\tfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)\)
Lineal
\(\tfrac{dy}{dx}+Py=Q\)
Bernoulli & Propiedades
Bernoulli
\(\tfrac{dy}{dx}+Py=Qy^n\)
Sustitución
\(z=y^{1-n}\)
Prop. log
\(e^{\ln x}=x\)
Potencia
\((a^m)^n=a^{mn}\)
Identidades Trigonométricas
\(\csc x=\tfrac{1}{\sin x}\)
\(\cot x=\tfrac{1}{\tan x}\)
\(1+\tan^2\!x=\sec^2\!x\)
\(1+\cot^2\!x=\csc^2\!x\)
E.D. Homogéneas — Ecuación Auxiliar
Forma General
\(a_n y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_2 y''+a_1 y'+a_0 y=0\)
E.D. homogénea
\(ay''+by'+cy=0\)
Ecuación auxiliar
\(ar^2+br+c=0\)
Fórmula general
\(r_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
Δ
Discriminante: \(\Delta = b^2-4ac\)
▶
\(\Delta>0\)
→ 2 raíces reales distintas
▶
\(\Delta=0\)
→ 1 raíz real (multiplicidad 2)
▶
\(\Delta<0\)
→ raíces complejas conjugadas
Posibles Soluciones — \(\Delta = b^2-4ac\)
Caso I
Si \(\Delta > 0\)
→ \(r_1,\,r_2\) reales y distintos
\(y(x)=C_1\,e^{r_1 x}+C_2\,e^{r_2 x}\)
Caso II
Si \(\Delta = 0\)
→ \(r_1=r_2=r\) (raíz doble)
\(y(x)=C_1\,e^{rx}+C_2\,x\,e^{rx}\)
Caso III
Si \(\Delta < 0\)
→ \(r=\alpha\pm\beta i\) (compleja